1) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{x}-3\sqrt{y}=15\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11\sqrt{x}=33\\3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)

2) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{x+3}+4\sqrt{y+1}=-4\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1=0\\x+3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

4. Đk: \(x,y\ge0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}=1\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\ge0+1=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}\ge0+1=1\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0,\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{y}=0,\sqrt{y+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)<tmđk>

Vậy hệ pt có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\)

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-\sqrt{xy}=0\\\sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-\sqrt{y}\\\sqrt{x}=\sqrt{2y}\end{matrix}\right.\)

cái đầu tiên loại vì x=y=0 không phải là nghiệm của hệ

suy ra x=2y thày vào pt(2) ta thấy 0 = 1 vô lý

vậy pt vô nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}=\sqrt{y}+\dfrac{3}{\sqrt{y}}\left(1\right)\\2x-\sqrt{xy}-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) đk : x>=; y>=0

Ta có (1) <=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-\left(\dfrac{3}{\sqrt{y}}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-3\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{xy}}\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=y\\\sqrt{xy}=3\end{matrix}\right.\)

+) với x=y, thay vào (2) ta có:

\(2x-\sqrt{x^2}-1=0\)

<=> 2x- x-1=0(do x>0)

<=> x=1 => y =1(t/m)

+) với \(\sqrt{xy}=3\) thay vào (2) ta có :

2x - 3-1 =0

<=> x= 2 (tm) => y = 9/2

Vậy hệ có nghiệm (x;y) là (1;1), (2;\(\dfrac{9}{2}\) )

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(xy+1\right)=x\left(x+y\right)+2\left(1\right)\\3xy-x+3=\sqrt{x+2y+1}+\sqrt{x+4y+4}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Đk: \(x+2y+1\ge0,x+4y+4\ge0\)

\(\left(1\right)\Rightarrow2xy+2=x^2+xy+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=y\end{matrix}\right.\) 

*Khi \(x=0\), thay vào (2) ta được pt: \(\sqrt{2y+1}+\sqrt{4y+4}=3\)

Giải bằng phương pháp bình phương 2 vế ta được \(y=0\).

Thay \(x=y=0\) vào đk hoàn toàn thỏa mãn.

*Khi \(x=y\), thay vào (2) ta được pt: \(3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}\) .

Mình không giải được nhưng pt có nghiệm \(x=0\) nên suy ra \(y=0\)Vậy hệ pt ban đầu có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\).

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\left(1\right)\\\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1+x^2-y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\\xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y\left(x-y\right)+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y}=\dfrac{x-y}{-xy}\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\dfrac{y+\dfrac{1}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y}+xy\right]=0\Leftrightarrow x=y\).

Thay x = y vào (2) ta có \(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|=1\). (*)

Ta có \(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|=\left|y-1\right|+\left|2-y\right|\ge y-1+2-y=1\).

Mà đẳng thức xảy ra ở (1) nên ta phải có \(1\le y\le2\). (TMĐK)

Vậy pt đã cho có vô số nghiệm \(x=y=k\) với \(1\le k\le2\)

Đề thi chuyên SP hả em, bài này sử dụng Liên hợp với đánh giá em nhé:

Đầu tiên trừ 2 về mình có là
\(x\sqrt{y+4}+x\sqrt{y+11}-y\sqrt{x+4}-y\sqrt{x+11}=0\)

Từ hệ mình dễ dàng suy ra đc x,y>0

Anh liên hợp cho 1 cái nha

\(x\sqrt{y+4}-y\sqrt{x+4}=\sqrt{x^2y+4x^2}-\sqrt{y^2x+4y^2}=\dfrac{x^2y-y^2x+4x^2-4y^2}{\sqrt{.........}+\sqrt{.......}}=\left(x-y\right).\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{.........}+\sqrt{............}}\)

Cái kia em cx liên hợp tương tự, đặt x-y của cả 2 cái khi liên hợp xong phương trình sẽ là

\(\left(x-y\right)\left(\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}+\dfrac{xy+11x+11y}{\sqrt{........}+\sqrt{.....}}\right)=0\)  Cái trong ngoặc to đùng hiển nhiên >0 với x,y>0. DO đó x-y=0 hay x=y

 EM thế vào phương trình ban đầu thì có \(x\sqrt{x+4}+x\sqrt{x+11}=35\)

Đến đây thì nhẩm đc x=5 thoả mãn em giải bằng đánh giá:

 Với  x=5 suy ra......=35

Với x>5 suy ra......>35

Với x<5 suy ra.....<35

Kết luận đc x=5, do đó y=5

Note: hướng làm em nhé, bổ sung thêm điều kiện xác định linh tinh zô

Xem qua xem hiểu đc đến đâu em nhé

Bài 1: ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2=2$

$\Leftrightarrow 2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}=2$
$\Leftrightarrow (x-2)(4-x)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$ hoặc $4-x=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$ (tm)

Bài 2:
PT $\Leftrightarrow 4x^3(x-1)-3x^2(x-1)+6x(x-1)-4(x-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x^3-3x^2+6x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $4x^3-3x^2+6x-4=0$

Với $4x^3-3x^2+6x-4=0(*)$

Đặt $x=t+\frac{1}{4}$ thì pt $(*)$ trở thành:
$4t^3+\frac{21}{4}t-\frac{21}{8}=0$

Đặt $t=m-\frac{7}{16m}$ thì pt trở thành:

$4m^3-\frac{343}{1024m^3}-\frac{21}{8}=0$
$\Leftrightarrow 4096m^6-2688m^3-343=0$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $m^3$ và giải ta thu được \(m=\frac{\sqrt[3]{49}}{4}\) hoặc \(m=\frac{-\sqrt[3]{7}}{4}\)

Khi đó ta thu được \(x=\frac{1}{4}(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})\)

Nãy mình tìm được một cách giải tương tự cho câu 2.

PT \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^3-3x^2+6x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x^3-3x^2+6x-4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 1 nghiệm bằng 1.

\(\left(1\right)\Rightarrow8x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow7x^3+x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^3=-7x^3\)

\(\Leftrightarrow x-2=-\sqrt[3]{7}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\)

Vậy pt có nghiệm \(S=\left\{1;\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\right\}\)

Lưu ý: Nghiệm của người kia hoàn toàn tương đồng với nghiệm của mình (\(\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}=\dfrac{1}{4}\left(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49}\right)\))

Lời giải:

ĐK: $x,y>0$

PT$(2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}-x=y+\frac{1}{\sqrt{y}}>0$

$\Rightarrow 1-x\sqrt{x}>1\Rightarrow 1>x$

Quay lại PT $(1)$:

$2x^2=xy+1$

Nếu $y\geq x$ thì: $2x^2=xy+1\geq x^2+1\Leftrightarrow x^2\geq 1\Rightarrow x\geq 1$ (vô lý vì $x<1$)

$\Rightarrow 0<y<x$

Khi đóTại PT$(2)$: $x+y=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}<0$ (vô lý vì $x,y>0$)

Vậy HPT vô nghiệm